Question

10．已知二项展开式（1+mx）¹⁰的系数单调递减，则实数m的取值范围为0＜m＜$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 利用二项式定理，结合二项展开式（1+mx）¹⁰的系数单调递减，建立不等式，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：二项展开式（1+mx）¹⁰的系数为${C}_{10}^{r}•{m}^{r}$，
∵二项展开式（1+mx）¹⁰的系数单调递减，
∴${C}_{10}^{r}•{m}^{r}$＞${C}_{10}^{r+1}$•m^r+1，
∴0＜m＜$\frac{r+1}{10-r}$，
∵$\frac{r+1}{10-r}$=-1+$\frac{11}{10-r}$，r=0时，取得最小值$\frac{1}{10}$，
∴0＜m＜$\frac{1}{10}$，
故答案为：0＜m＜$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查二项式定理的运用，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．