Question

9．已知函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z），单调递减区间为[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]（k∈Z），则不等式f（x）≥-1的解集为{x|k$π+\frac{π}{12}$≤x≤k$π+\frac{2π}{3}$，k∈Z}∪{x|kπ+π≤x≤kπ+$\frac{13π}{12}$，k∈Z}．

Answer 1

分析 依题意知，函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的周期T=π，于是可求得ω，利用正弦函数的图象和性质即可求解．

解答 解：∵函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z），单调递减区间为[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]（k∈Z），
∴其周期T=$\frac{11π}{12}$-（-$\frac{π}{12}$）=π，又ω＞0，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）≥-1，解得：sin（2x-$\frac{π}{6}$）≥-$\frac{1}{2}$，
∴解得：2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{7π}{6}$，或2kπ+$\frac{11π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+2π，k∈Z，
∴解得不等式f（x）≥-1的解集为：{x|k$π+\frac{π}{12}$≤x≤k$π+\frac{2π}{3}$，k∈Z}∪{x|kπ+π≤x≤kπ+$\frac{13π}{12}$，k∈Z}．
故答案为：{x|k$π+\frac{π}{12}$≤x≤k$π+\frac{2π}{3}$，k∈Z}∪{x|kπ+π≤x≤kπ+$\frac{13π}{12}$，k∈Z}．

点评 本题考查正弦函数的性质，着重考查其单调性与周期性，求得其周期T=π是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．