Question

6．如图，在三棱台DEF-ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：平面ABED∥平面GHF；
（2））若BC=CF=$\frac{1}{2}$AB=1，求二面角A-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形BHFE是平行四边形，从而BE∥HF，从而∥平面GHF，BE∥平面GHF，由此能证明平面ABED∥平面GHF．
（2）以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-DE-F的余弦值．

解答 证明：（1）由已知得三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}=\frac{1}{2}$，
∵G，H分别为AC，BC的中点．，
∴AB∥GH，EF∥BH，EF=BH，
∴四边形BHFE是平行四边形，∴BE∥HF，
∵AB?平面GHF，HF?平面GHF，
∴AB∥平面GHF，BE∥平面GHF，
又AB∩BE=B，AB，BE?平面ABED，
∴平面ABED∥平面GHF．
解：（2）由已知，底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，即AC⊥BC，
又FC⊥底面ABC，
∴以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
取AB=2，由BC=CF=$\frac{1}{2}AB$，得BC=CF=1，AC=$\sqrt{3}$，
则A（$\sqrt{3}，0，0$），C（0，0，0），B（0，1，0），F（0，0，1），
E（0，$\frac{1}{2}$，1），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，1），
平面DEF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设平面ABED的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AD}=（-\frac{\sqrt{3}}{2}，0，1）$，$\overrightarrow{AE}$=（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}，1$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=-\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，2$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4+12+3}}$=$\frac{\sqrt{57}}{19}$，
由图形得二面角A-DE-F的平面角是钝角，
∴二面角A-DE-F的余弦值为-$\frac{\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题考查面面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．