Question

10．如图，BD是△ABC外接圆的切线，过A作BD的平行线交BC于E，交△ABC的外接圆于F．
（1）若∠D=∠ABD，BC=2$\sqrt{3}$，AC=4，求△ABC外接圆的面积；
（2）求证：AC•EF=AB•EC．

Answer 1

分析 （1）利用切割线定理，求出DA，证明AC为△ABC外接圆的直径，即可求△ABC外接圆的面积；
（2）证明△EFC∽△ABC，即可证明AC•EF=AB•EC．

解答 （1）解：∵BD是△ABC外接圆的切线，
∴∠C=∠ABD，
∵∠D=∠ABD，
∴∠D=∠C，
∴BD=BC=2$\sqrt{3}$，
由切割线定理可得BD²=DA•DC，即12=DA•（DA+4），
∴DA=2，
∵∠D=∠ABD，
∴AB=AD=2，
∴△ABC中，AB²+BC²=AC²，∴AC为△ABC外接圆的直径，
∴△ABC外接圆的面积为4π•2²=16π；
（2）证明：连接CF，则∠ECF=∠BAF=∠ACB，
∵∠EFC=∠ABC，
∴△EFC∽△ABC，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{EC}{AC}$，
∴AC•EF=AB•EC．

点评 本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．