Question

已知函数f （x）=

x

1-2x

的反函数为f ^-1（x），若数列{a_n}满足a_n+1=f ^-1（a_n）（n∈N₊）且a₁=-

1

2007

．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_na_n-1，求b_n的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）先求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式，再利用等差数列求数列{

1

an

}的通项，最后求出数列{a_n}的通项．
（2）由（1）得出b_n，进而得到数列b_n的通项公式，利用数列的函数性质，得到数列的单调性，即可得数列的最值．

解答：解：（1）由y=

x

1-2x

得 x=

y

2y+1

，∴f-1(x)=

x

2x+1

(x≠-

1

2

)
又a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N₊），∴a_n+1=

an

2an+1

∵a₁=-

1

2007

，a_n+1=

an

2an+1

，∴a_n≠0（n∈N₊）
∴

1

an+1

=

1

an

+2(n∈N+)且

1

a1

=-2007
∴{

1

an

}是以为-2007首项，2为公差的等差数列
∴

1

an

=-2007+2(n-1)
∴an=

1

2n-2009

为所求．（6分）
（2）由（1）知b_n=

1

(2n-2009)(2n-2011)

，记g（n）=（2n-2009）（2n-2011）（n∈N₊）
当1≤n≤1004时，g（n）单调递减且g_min（n）=g（1004）=3此时b_n＞0且b_n的最大值为

1

3

；
当n=1005时，g（n）=-1；
当n≥1006时，g（n）单调递增且g_min（n）=g（1006）=3此时b_n＞0且b_n的最大值为

1

3

；
综上：b_n的最大值为

1

3

，最小值为-1．（12分）

点评：本题考查反函数的求法，以及等差数列等比数列的通项公式和性质，数列与函数的综合以及数列最值的求法，特别注意体会函数在数列中的应用．