Question

已知函数f（x）=x²•e^ax，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；
（2）若对于任意的a＞0，都有f(x)≤f′(x)+

x2+ax+a2+1

a

•eax成立，x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数先求出函数的极值，再将他与端点值比较，最大的极为最大值，反之极为最小值
（2）原命题等价于对任意a＞0，x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+

x2+ax+a2+1

a

eax恒成立，即x2≤2x+ax2+

x2+ax+a2+1

a

对任意a＞0恒成立．将a分离出来得到a+

1

a

≥

x2-3x

x2+1

(a＞0)，求出a+

1

a

(a＞0)的最小值，
从而得到

x2-3x

x2+1

≤2即可

解答：解（1）当a=-1时，f（x）=x²•e^-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=-x（x-2）e^-xf′（x）=0?x=0或x=2，
f（x），f′（x）随x变化情况如下表：

∴x∈[-1，1]时，f_max（x）=e，f_min（x）=0
（2）命题等价于对任意a＞0，x²•e^ax≤2x•e^ax+ax²•e^ax+

x2+ax+a2+1

a

eax恒成立，
即x²≤2x+ax²+

x2+ax+a2+1

a

对任意a＞0恒成立．
(a+

1

a

)(x2+1)≥x2-3x，a+

1

a

≥

x2-3x

x2+1

（a＞0）
又∵a＞0∴a+

1

a

≥2

a• 1 a

=2
只需

x2-3x

x2+1

≤2?x≤-2或x≥-1．
综上：x的取值范围为x≤-2或x≥-1．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，基本不等式，还有变量分离，属于基础题．