精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

设某物体一天中的温度T是时间的函数：T（t）=at³+bt²+ct+d（a≠0），其中温度的单位是℃，时间单位是小时，t=0表示12：00，取正值表示12：00以后．若测得该物体在8：00的温度是8℃，12：00的温度为60℃，13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度在8：00和16：00有相同的变化率．
（1）写出该物体的温度T关于时间的函数关系式；
（2）该物体在10：00到14：00这段时间中（包括10：00和14：00），何时温度最高，并求出最高温度；
（3）如果规定一个函数f（x）在区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）上的平均值为 $数学公式$ ，求该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度．

解：（1）求导函数可得T′=3at²+2bt+c
∵该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率
∴T′（-4）=T′（4），∴12a-8b+c=12a+8b+c，∴b=0
∵该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃
∵该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃
∴ $\text{[math]}$ ，
∴a=1，b=0，c=-3，d=60
∴T（t）=t³-3t²+60（-12≤t≤12）；
（2）T′=3t²-3=3（t+1）（t-1），
令T′＞0，可得t＜-1或t＞1；令T′＜0，可得-1＜t＜1
∴函数在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增
∵T（-2）=58，T（-1）=62，T（1）=58，T（2）=62
∴t=-1或t=2时，T（t）取到最大值62，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃；
（3）由题意可得该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度为：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =14．
所以该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度14℃．
分析：（1）求导函数，利用该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率，建立方程，求得b的值，再利用该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃，建立方程组，即可确定函数的解析式；
（2）确定函数在[-2，2]上的单调性，从而可得函数的极值与最值，即可求得结论．
（3）求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和下限求解．
点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了导数知识的运用，考查了计算能力，训练了定积分的求解，属中档题．

练习册系列答案

寒假作业时代出版传媒股份有限公司系列答案

寒假作业华中科技大学出版社系列答案

复习计划100分寒假学期复习系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

设某物体一天中的温度T是时间的函数：T（t）=at³+bt²+ct+d（a≠0），其中温度的单位是℃，时间单位是小时，t=0表示12：00，取正值表示12：00以后．若测得该物体在8：00的温度是8℃，12：00的温度为60℃，13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度在8：00和16：00有相同的变化率．
（1）写出该物体的温度T关于时间的函数关系式；
（2）该物体在10：00到14：00这段时间中（包括10：00和14：00），何时温度最高，并求出最高温度；
（3）如果规定一个函数f（x）在区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）上的平均值为

x2-x1

∫

f(x)dx，求该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知T（t）=at³+bt²+ct+d（a≠0），其中温度的单位是℃，时间的单位是小时，中午12：00相应的t=0，中午12：00以后相应的t取正数，中午12：00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4），若测得该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率．
（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在上午10：00至下午14：00这段时间中（包括端点）何时温度最高？最高温度是多少？

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源：2012-2013学年湖南省重点中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源：2010-2011学年山东省高三第一次质量检测理科数学卷 题型：解答题

（满分12分）

设某物体一天中的温度是时间的函数，已知，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时．中午12:00相应的，中午12:00以后相应的取正数，中午12:00以前相应的取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4）．若测得该物体在早上8:00的温度为8℃，中午12:00的温度为60℃，下午13:00的温度为58℃，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率．