Question

某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产的附加值．改造需要投入，假设附加值y（万元）与技术改造投入x（万元）之间的关系满足：①y与（a-x）和x²的乘积成正比；②当x=

a

4

时，y=

3a3

16

；③0≤

x

2(a-x)

≤t，其中常数t∈（0，2]．
（1）设y=f（x），求函数f（x）的解析式并求f（x）的定义域；
（2）求出附加值y的最大值，并求此时的技术改造投入x．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的定义域及其求法,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设y=k（a-x）•x²，利用当x=

a

4

时，y=

3a3

16

；求出k=4，从而可得函数表达式，即可求得y=f（x）的定义域；
（2）利用函数单调性与导数关系，进行求最值．

解答： 解：（1）设y=k（a-x）•x²，
∵当x=

a

4

时，y=

3a3

16

；
∴k=4，
∴y=4（a-x）•x²，
∵y＞0，∴0＜x＜a，又由③0≤

x

2(a-x)

≤t，得x≤

2at

1+2t

=a•

2t

1+2t

＜a．
所以定义域为（0，

2at

1+2t

]；
（2）y=4（a-x）•x²=-4x³+4ax²，
y′=-12x²+8ax=-4x（3x-2a），由y′=0得x=

2a

3

，
在（0，

2at

1+2t

]上：
∵

2at

1+2t

-

2a

3

=

2a(t-1)

3(1+2t)

，
∴当0＜t＜1时，

2at

1+2t

＜

2a

3

，则在（0，

2at

1+2t

]上y′＞0，f（x）单调递增，当x=

2at

1+2t

时，y的最大值为f（

2at

1+2t

）=

16a3t2

(1+2t)3

；
当1≤t≤2时，

2at

1+2t

＞

2a

3

，则在（0，

2a

3

）上y′＞0，f（x）单调递增，在（

2a

3

，

2at

1+2t

]上y′＜0，f（x）单调递减，当x=

2a

3

时，y的最大值为f（

2a

3

）=

16a3

9

；

点评：本题考查函数解析式的确定，考查导数的工具作用，考查学生的计算能力，属于中档题．