Question

【题目】已知点，，动点满足，记M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）过坐标原点O的直线l交C于P、Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为H．连结QH并延长交C于点R．

（i）设O到直线QH的距离为d．求d的取值范围;

（ii）求面积的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) （i） （ii）面积最大值为，直线的方程为.

【解析】

（1）根据题意列出方程求解即可

（2）联立直线与圆的方程，得出P、Q、H三点坐标，表示出QH直线方程，采用点到直线距离公式求解；利用圆的几何关系，表示出三角形的底和高，再结合函数最值问题进行求解

（1）由及两点距离公式，

有，

化简整理得，．

所以曲线C的方程为；

（2）（i）设直线l的方程为；

将直线l的方程与圆C的方程联立，消去y，

得（，解得

因此，，，

所以直线QH的方程为．

到直线QH的距离，

当时．，所以，

（ii）过O作于D，则D为QR中点，且由（i）知，

，，

又由，故的面积，

由，有，所以，

当且仅当时，等号成立，且此时由（i）有，即.

综上，的面积最大值为的面积最大值为，且当面积最大时直线的方程为.