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已知函数f(x)定义域为实数R,对任意的实数x、y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),又当x>0时,f(x)<0且f(2)=-1.
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)判断f(x)在R上的单调性.
(3)求f(x)在[-6,6]的最值.
分析:(1)由已知中对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,我们可以得到设x=y=0,则f(0)=0,再令y=-x可得f(-x)=-f(x),进而根据函数奇偶性的定义得到结论f(x)为奇函数,
(2)再利用函数单调性的定义由x>0时,有f(x)>0,结合对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,判断出函数的单调性,
(3)根据单调性,以及f(2)=-1,得到f(x)在[-6,6]上有最大值和最小值.
解答:解:(1)令x=y=0知f(0)=0,
令x+y=0知f(x)+f(-x)=0,
∴f(x)为奇函数.
(2)任取两个自变量x1,x2且-∞<x1<x2<+∞,
则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),
∵x2>x1,∴x2-x1>0知f(x2-x1)<0,即f(x2)-f(x1)<0,
故f(x2)<f(x1),
∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
(3)∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数
∴f(x)在[-6,6]上有最大值和最小值                
最小值为f(6)=f(4)+f(2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)=-3;
最大值为f(-6)=-f(6)=3.
点评:本题考查的知识点是抽象函数,函数单调性与性质,是对函数性质及应用的综合考查,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
,且当x<0时,f(x)>0.
(Ⅰ)验证函数f(x)=ln
1-x
1+x
是否满足这些条件;
(Ⅱ)判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性,并加以证明.

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已知函数f(x)定义在R上,并且对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且x≠y时,f(x)≠f(y),x>0时,有f(x)>0.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2

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(2009•连云港二模)已知函数f(x)定义在正整数集上,且对于任意的正整数x,都有f(x+2)=2f(x+1)-f(x),且f(1)=2,f(3)=6,则f(2009)=
4018
4018

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已知函数f(x)定义在区间(-1,1)上,f(
1
2
)=-1,且当x,y∈(-1,1)时,恒有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
),又数列{an}满足:a1=
1
2
,an+1=
2an
1+
a
2
n

(I)证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数;
(II)求f(an)关于n的函数解析式;
(III)令g(n)=f(an)且数列{an}满足bn=
1
g(n)
,若对于任意n∈N+,都有b1+b2+…+bnt2-3t恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)定义在R上,对任意的x∈R,f(x+1001)=
2
f(x)
+1
,已知f(11)=1,则f(2013)=
 

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