Question

(本小题满分13分).某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．

（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．

Answer 1

（I）_；
（II）是函数y的极小值点，也是最小值点。
（2）当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时。

解析试题分析：（I）设容器的容积为V，
由题意知
故
由于
因此_{…………………………………………………………………….3分}
所以建造费用
因此_{………………………………………..5分}
（II）由（I）得
由于
当
令
所以_{………………………………….7分}
（1）当时，

所以是函数y的极小值点，也是最小值点。………………….10分
（2）当即时，
当函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时
当时，建造费用最小时………………13分
考点：本题主要考查导数在实际问题中的应用，利用导数求函数的最值，几何体特征及体积计算。
点评：高考题，构建函数关系、准确求导数是解题的关键。