Question

5．已知函数f（x）的定义域是{x|x≠0}的一切实数，对定义域内的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＜0，f（2）=-1．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）解不等式f（x²-1）＜2．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义进行证明即可．
（2）利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．
（3）利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可．

解答 解：（1）由题意知，对定义域内的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=1，x₂=-1，代入上式得f（-1）=f（-1）+f（1），解得f（1）=0，
令x₁=-1，x₂=-1，得，f（1）=f（-1）+f（-1）=0，解得f（-1）=0，
令x₁=-1，x₂=x代入上式，∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）y=f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
证明：设x₁，x₂是（0，+∞）任意两个变量，且x₁＜x₂，设x₂=tx₁，（t＞1），
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（tx₁）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）=-f（t）
∵当x＞1时，f（x）＜0；
∴f（t）＜0，即f（x₁）-f（x₂）=-f（t）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即y=f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
（3）∵f（2）=-1，∴令x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$，则f（2×$\frac{1}{2}$）=f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=f（1）=0，
则f（$\frac{1}{2}$）=-f（2）=-（-1）=1．
f（$\frac{1}{4}$）=f（$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=2f（$\frac{1}{2}$）=2×1=2．
则不等式f（x²-1）＜2等价为不等式f（x²-1）＜f（$\frac{1}{4}$），
∵f（x）在（0，+∞）上是减函数且函数f（x）是偶函数，
∴x²-1＜-$\frac{1}{4}$或x²-1＞$\frac{1}{4}$，
即x²＜$\frac{3}{4}$或x²＞$\frac{5}{4}$，
即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$或x＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$或x＜-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即不等式的解集为{x|-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$或x＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$或x＜-$\frac{\sqrt{5}}{2}$}．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数求值的基本方法，利用抽象函数恒成立，可以将条件进行转换．