分析 (1)利用赋值法,结合函数奇偶性的定义进行证明即可.
(2)利用单调性的定义,结合抽象函数之间的数值关系进行证明.
(3)利用函数的单调性将不等式进行转化,解不等式即可.
解答 解:(1)由题意知,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),
令x1=1,x2=-1,代入上式得f(-1)=f(-1)+f(1),解得f(1)=0,
令x1=-1,x2=-1,得,f(1)=f(-1)+f(-1)=0,解得f(-1)=0,
令x1=-1,x2=x代入上式,∴f(-x)=f(-1•x)=f(-1)+f(x)=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(2)y=f(x)在(0,+∞)上的单调递减.
证明:设x1,x2是(0,+∞)任意两个变量,且x1<x2,设x2=tx1,(t>1),
则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(tx1)=f(x1)-f(x1)-f(t)=-f(t)
∵当x>1时,f(x)<0;
∴f(t)<0,即f(x1)-f(x2)=-f(t)>0,
∴f(x1)>f(x2),
即y=f(x)在(0,+∞)上的单调递减.
(3)∵f(2)=-1,∴令x1=2,x2=$\frac{1}{2}$,则f(2×$\frac{1}{2}$)=f(2)+f($\frac{1}{2}$)=f(1)=0,
则f($\frac{1}{2}$)=-f(2)=-(-1)=1.
f($\frac{1}{4}$)=f($\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$)=f($\frac{1}{2}$)+f($\frac{1}{2}$)=2f($\frac{1}{2}$)=2×1=2.
则不等式f(x2-1)<2等价为不等式f(x2-1)<f($\frac{1}{4}$),
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数且函数f(x)是偶函数,
∴x2-1<-$\frac{1}{4}$或x2-1>$\frac{1}{4}$,
即x2<$\frac{3}{4}$或x2>$\frac{5}{4}$,
即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$<x<$\frac{\sqrt{3}}{2}$或x>$\frac{\sqrt{5}}{2}$或x<-$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
即不等式的解集为{x|-$\frac{\sqrt{3}}{2}$<x<$\frac{\sqrt{3}}{2}$或x>$\frac{\sqrt{5}}{2}$或x<-$\frac{\sqrt{5}}{2}$}.
点评 本题主要考查抽象函数的应用,利用赋值法是解决抽象函数求值的基本方法,利用抽象函数恒成立,可以将条件进行转换.
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P(K2≥k0) | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
数学优秀 | 数学不优秀 | 总计 | |
物理优秀 | |||
物理不优秀 | |||
总计 |
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A. | (-2,2) | B. | (-4,4) | C. | (0,2)∪(4,+∞) | D. | (-2,0)∪(2,+∞) |
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