【题目】已知函数y=f1(x),y=f2(x),定义函数f(x).
(1)设函数f1(x)=x+3,f2(x)=x2﹣x,求函数y=f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,g(x)=mx+2(m∈R),函数h(x)=f(x)﹣g(x)有三个不同的零点,求实数m的取值范围;
(3)设函数f1(x)=x2﹣2,f2(x)=|x﹣a|,函数F(x)=f1(x)+f2(x),求函数F(x)的最小值.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)根据函数f(x)的定义,两个函数中取小的.
(2)函数h(x)=f(x)﹣g(x)有三个不同的零点,即方程f(x)=g(x)有三个不同的实数根,因为函数 是分段函数,分类讨论,分别用一次方程和二次方程求解.
(3)根据题意F(x).按照二次函数函数定区间动的类型,讨论对称轴与区间端点值间的关系求最值.
(1)∵f1(x)=x+3,,
当f1(x)≤f2(x),即x≥3或x≤﹣1时,f(x)=x+3,
当f1(x)>f2(x),即﹣1<x<3时,,
综上:.
(2)函数h(x)=f(x)﹣g(x)有三个不同的零点,
即方程f(x)=g(x)有三个不同的实数根,
因为函数,函数g(x)=mx+2(m∈R),
所以当x≤﹣1或x≥3时,mx+2=x+3恰有一个实数解,
所以或,
解得,.
当﹣1<x<3时,mx+2=x2﹣x恰有两个不同的实数解,
即当﹣1<x<3时x2﹣(m+1)x﹣2=0恰有两个不同的实数解,
设函数h(x)=x2﹣(m+1)x﹣2,
由题意可得,
所以,
解得,
综上,m的取值范围为.
(3)F(x)=f1(x)+f2(x)=x2+|x﹣a|﹣2.
①若a,则函数F(x)在上是单调减函数,在上是单调增函数,
此时,函数F(x)的最小值为;
②若,则函数F(x)在(﹣∞,a)上是单调减函数,在(a,+∞)上是单调增函数,
此时,函数F(x)的最小值为F(a)=a2﹣2;
③若,则函数F(x)在上是单调减函数,在上是单调增函数,
此时,函数F(x)的最小值为;
综上:.
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【题目】给出下列说法:
①若直线平行于平面内的无数条直线,则;
②若直线在平面外,则;
③若直线,直线平面,则;
④若直线,直线平面,则直线平行于平面内的无数条直线.
其中正确说法的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】《九章算术》中有一分鹿问题:“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿.欲以爵次分之,问各得几何.”在这个问题中,大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员,现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去三地执行公务(每地至少去1人),则不同的方案有( )种.
A.150B.180C.240D.300
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【题目】对于函数y=f(x),若在其定义域内存在x0,使得x0f(x0)=1成立,则称函数f(x)具有性质M.
(1)下列函数中具有性质M的有____
①f(x)=﹣x+2
②f(x)=sinx(x∈[0,2π])
③f(x)=x,(x∈(0,+∞))
④f(x)
(2)若函数f(x)=a(|x﹣2|﹣1)(x∈[﹣1,+∞))具有性质M,则实数a的取值范围是____.
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【题目】已知向量(2sinx,cosx),(cosx,2cosx).
(1)若x≠kπ,k∈Z,且,求2sin2x﹣cos2x的值;
(2)定义函数f(x),求函数f(x)的单调递减区间;并求当x∈[0,]时,函数f(x)的值域.
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【题目】2018年中秋季到来之际,某超市为了解中秋节期间月饼的销售量,对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量(单位:)进行了问卷调查,得到如下频率分布直方图:
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)已知该超市所在销售范围内有20万人,并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的,请根据人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求?
(3)由频率分布直方图可以认为,该销售范围内消费者的月饼购买量服从正态分布,其中样本平均数作为的估计值,样本标准差作为的估计值,设表示从该销售范围内的消费者中随机抽取10名,其月饼购买量位于的人数,求的数学期望.
附:经计算得,若随机变量服从正态分布,则,.
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【题目】近期,某学校举行了一次体育知识竞赛,并对竞赛成绩进行分组:成绩不低于80分的学生为甲组,成绩低于80分的学生为乙组.为了分析竞赛成绩与性别是否有关,现随机抽取了60名学生的成绩进行分析,数据如下图所示的列联表.
甲组 | 乙组 | 合计 | |
男生 | 3 | ||
女生 | 13 | ||
合计 | 40 | 60 |
(1)将列联表补充完整,判断是否有的把握认为学生按成绩分组与性别有关?
(2)如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求至少有1人在甲组的概率.
附:,.
参考数据及公式:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】随着我国经济的发展,居民收入逐年增长.某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入(单位:千元)的数据如下表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人均纯收入 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
(1)求关于的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测2020年该地区农村居民家庭人均纯收入约为多少千元?
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
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【题目】已知椭圆的中心为原点,长轴在轴上,左顶点为,上、下焦点分别为,线段的中点分别为,且是斜边长为的直角三角形.
(1)若点在椭圆上,且为锐角,求的取值范围;
(2)过点作直线交椭圆于点,且,求直线的方程.
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