已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.
(1)求证:M点的轨迹是抛物线,并求出其方程;
(2)大家知道,过圆上任意一点P,任意作互相垂直的弦PA、PB,则弦AB必过圆心(定点).受此启发,研究下面问题:
1过(1)中的抛物线的顶点O任意作互相垂直的弦OA、OB,问:弦AB是否经过一个定点?若经过,请求出定点坐标,否则说明理由;2研究:对于抛物线上某一定点P(非顶点),过P任意作互相垂直的弦PA、PB,弦AB是否经过定点?
分析:(1)由条件可知动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x=-1的距离,抛物线的定义加以证明.
(2)先设A(x
1,y
1)、B(x
2,y
2)及中点P的坐标,根据中点的定义得到三点坐标之间的关系,再由OA⊥OB得到
•
=-1,再结合A、B两点在抛物线上满足抛物线方程可得到y
1y
2、y
12+y
22的关系消去x
1、y
1、x
2、y
2可得到最后答案.;
设AB的方程为y=mx+n,代入y
2=4x.得y
2-2my-2n=0,然后由根与系数的关系可以得到直线AB的方程为x=my+my
0+x
0+2,它一定过交点(x
0+2,-y
0).
解答:解:(1)证明:由题意可知:动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x=-1的距离
根据抛物线的定义可知,M的轨迹是抛物线
所以抛物线方程为:y
2=4x
(2)
(i)设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
l
AB:y=kx+b,(b≠0)由
消去y得:k
2x
2+(2bk-4)kx+b
2=0,x
1x
2=
.
∵OA⊥OB,∴
•=0,∴x
1x
2+y
1y
2=0,y
1y
2=
所以x
1x
2+(x
1x
2)
2=0,b≠0,∴b=-2k,∴直线AB过定点M(1,0),
(ii)设p(x
0,y
0)设AB的方程为y=mx+n,代入y
2=2x
得y
2-2my=-2n=0
∴y
1+y
2=2m,y
1y
2-2n其中y
1,y
2分别是A,B的纵坐标
∵AP⊥PB∴k
max•k
min=-1
即
•=1∴(y
1+y
0)(y
2+y
0)=-4
•y
1y
2+(y
1+y
2)y
0+y
02-4=0
(-2n)+2my
0+2x
0+4=0,
=my
0+x
0+2
直线PQ的方程为x=my+my
0+x
0+2,
即x=m(y+y
0)+x
0+2,它一定过点(x
0+2,-y
0)
点评:本题考查直线与圆锥的综合问题,解题时要认真审题,仔细解答,注意计算能力的培养,直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点内容,每年必考.