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已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.
(1)求证:M点的轨迹是抛物线,并求出其方程;
(2)大家知道,过圆上任意一点P,任意作互相垂直的弦PA、PB,则弦AB必过圆心(定点).受此启发,研究下面问题:
1过(1)中的抛物线的顶点O任意作互相垂直的弦OA、OB,问:弦AB是否经过一个定点?若经过,请求出定点坐标,否则说明理由;2研究:对于抛物线上某一定点P(非顶点),过P任意作互相垂直的弦PA、PB,弦AB是否经过定点?
分析:(1)由条件可知动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x=-1的距离,抛物线的定义加以证明.
(2)先设A(x1,y1)、B(x2,y2)及中点P的坐标,根据中点的定义得到三点坐标之间的关系,再由OA⊥OB得到
y1
x1
y2
x2
=-1,再结合A、B两点在抛物线上满足抛物线方程可得到y1y2、y12+y22的关系消去x1、y1、x2、y2可得到最后答案.;
设AB的方程为y=mx+n,代入y2=4x.得y2-2my-2n=0,然后由根与系数的关系可以得到直线AB的方程为x=my+my0+x0+2,它一定过交点(x0+2,-y0).
解答:解:(1)证明:由题意可知:动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x=-1的距离
根据抛物线的定义可知,M的轨迹是抛物线
所以抛物线方程为:y2=4x
(2)
(i)设A(x1,y1),B(x2,y2),
lAB:y=kx+b,(b≠0)由
y=kx+b
y2=4x
消去y得:k2x2+(2bk-4)kx+b2=0,x1x2=
b2
k2

∵OA⊥OB,∴
OA
OB
=0
,∴x1x2+y1y2=0,y1y2=
4b
k

所以x1x2+(x1x22=0,b≠0,∴b=-2k,∴直线AB过定点M(1,0),
(ii)设p(x0,y0)设AB的方程为y=mx+n,代入y2=2x
得y2-2my=-2n=0
∴y1+y2=2m,y1y2-2n其中y1,y2分别是A,B的纵坐标
∵AP⊥PB∴kmax•kmin=-1
y1-y0
x1-x0
y2-y0
x2-x0
=1

∴(y1+y0)(y2+y0)=-4
•y1y2+(y1+y2)y0+y02-4=0
(-2n)+2my0+2x0+4=0,
=my0+x0+2
直线PQ的方程为x=my+my0+x0+2,
即x=m(y+y0)+x0+2,它一定过点(x0+2,-y0
点评:本题考查直线与圆锥的综合问题,解题时要认真审题,仔细解答,注意计算能力的培养,直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点内容,每年必考.
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(1)求动点M的轨迹方程;
(2)设过定点F,法向量
n
=(4,-3)
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(2)设过定点F,法向量
n
=(4,-3)
的直线与(1)中的轨迹相交于A,B两点且点A在x轴的上方,判断∠ACB能否为钝角并说明理由.进一步研究∠ABC为钝角时点C纵坐标的取值范围.

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已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.
(1)求证:M点的轨迹是抛物线,并求出其方程;
(2)我们知道:“过圆上任意一点P,任意作互相垂直的弦PA、PB,则弦AB必过圆心”(定点).受此启发,研究下面问题:
对于抛物线y2=2px(p>0)上某一定点P(非顶点),过P任意作互相垂直的弦PA、PB,弦AB是否经过定点?

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.
(1)求证:M点的轨迹是抛物线,并求出其方程;
(2)大家知道,过圆上任意一点P,任意作互相垂直的弦PA、PB,则弦AB必过圆心(定点).受此启发,研究下面问题:
1过(1)中的抛物线的顶点O任意作互相垂直的弦OA、OB,问:弦AB是否经过一个定点?若经过,请求出定点坐标,否则说明理由;2研究:对于抛物线上某一定点P(非顶点),过P任意作互相垂直的弦PA、PB,弦AB是否经过定点?

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