Question

已知函数f（x）=-x-x³，实数α、β、γ满足α+β＞0，β+γ＞0，γ+α＞0，则f（α）+f（β）+f（γ）的值（　　）

A．恒为正数

B．恒为负数

C．恒等于零

D．可能为正，也可能为负

Answer 1

分析：根据函数的解析式可得函数是奇函数，并且根据导数可得函数是减函数，所以根据题意α+β＞0，β+γ＞0，γ+α＞0，可得α＞-β，β＞-γ，γ＞-α，进而结合函数的奇偶性与函数的单调性即可得到答案．

解答：解：由题意可得：函数f（x）=-x-x³，
所以函数的定义域为R，并且有f（-x）=x+x³=-f（x）
所以函数f（x）是定义域内的奇函数．
又因为f′（x）=-1-3x²＜0，所以函数f（x）=-x-x³在R上是减函数．
因为实数α、β、γ满足α+β＞0，β+γ＞0，γ+α＞0，
所以α＞-β，β＞-γ，γ＞-α，
所以f（α）＜f（-β）=-f（β）…①，
f（β）＜f（-γ）=-f（γ）…②，
f（γ）＜f（-α）=-f（α）…③，
①+②+③并且整理可得：f（α）+f（β）+f（γ）＜0．
故选B．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，如奇偶性，单调性与周期性等．