Question

2．已知a＞1，b＞1，且$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b-1}$=1，则a+4b的最小值为14．

Answer 1

分析 由题意可得a-1＞0且b-1＞0，可得a+4b=（a-1）+4（b-1）+5=[（a-1）+4（b-1）]（$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b-1}$）+5=10+$\frac{4（b-1）}{a-1}$+$\frac{a-1}{b-1}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞1，b＞1，
∴a-1＞0且b-1＞0，
又∵$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b-1}$=1，
∴a+4b=（a-1）+4（b-1）+5，
=[（a-1）+4（b-1）]（$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b-1}$）+5，
=10+$\frac{4（b-1）}{a-1}$+$\frac{a-1}{b-1}$≥10+2$\sqrt{\frac{4（b-1）}{a-1}•\frac{a-1}{b-1}}$=14，
当且仅当$\frac{4（b-1）}{a-1}$=$\frac{a-1}{b-1}$即a=4且b=$\frac{5}{2}$时取等号．
故答案为：14．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体法并凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．