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2.已知a>1,b>1,且$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b-1}$=1,则a+4b的最小值为14.

分析 由题意可得a-1>0且b-1>0,可得a+4b=(a-1)+4(b-1)+5=[(a-1)+4(b-1)]($\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b-1}$)+5=10+$\frac{4(b-1)}{a-1}$+$\frac{a-1}{b-1}$,由基本不等式可得.

解答 解:∵a>1,b>1,
∴a-1>0且b-1>0,
又∵$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b-1}$=1,
∴a+4b=(a-1)+4(b-1)+5,
=[(a-1)+4(b-1)]($\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b-1}$)+5,
=10+$\frac{4(b-1)}{a-1}$+$\frac{a-1}{b-1}$≥10+2$\sqrt{\frac{4(b-1)}{a-1}•\frac{a-1}{b-1}}$=14,
当且仅当$\frac{4(b-1)}{a-1}$=$\frac{a-1}{b-1}$即a=4且b=$\frac{5}{2}$时取等号.
故答案为:14.

点评 本题考查基本不等式求最值,整体法并凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键,属中档题.

练习册系列答案
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12.计算:
(1)$\frac{{a}^{-1}+{b}^{-1}}{(ab)^{-1}}$
(2)16${\;}^{\frac{1}{2}}$-($\frac{1}{16}$)${\;}^{\frac{3}{4}}$-($\frac{1}{2}$)-3
(3)(${a}^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}$)(-3a${\;}^{\frac{1}{2}}$b${\;}^{\frac{1}{3}}$)÷($\frac{1}{3}$a${\;}^{\frac{1}{6}}$b${\;}^{\frac{5}{6}}$)(b≠0)
(4)$\root{3}{{a}^{\frac{7}{2}}\sqrt{{a}^{-3}}}$÷$\sqrt{\root{3}{{a}^{-8}}\root{3}{{a}^{15}}}$÷$\root{3}{\sqrt{{a}^{-3}}\sqrt{{a}^{-1}}}$.

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