Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，（x＜1）}\\{（a-3）x+4a，（x≥1）}\end{array}\right.$，满足对任意x₁，x₂（x₁≠x₂），都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0成立，则a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{4}$]
• B． （0，1）
• C． [$\frac{1}{4}$，1）
• D． （0，$\frac{3}{4}$]

Answer 1

分析 由已知可得函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，（x＜1）}\\{（a-3）x+4a，（x≥1）}\end{array}\right.$为减函数，则$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ a-3＜0\\ a≥a-3+4a\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：∵对任意x₁，x₂（x₁≠x₂），都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0成立，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，（x＜1）}\\{（a-3）x+4a，（x≥1）}\end{array}\right.$为减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ a-3＜0\\ a≥a-3+4a\end{array}\right.$，
解得：a∈（0，$\frac{3}{4}$]，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．