Question

（2009•青岛一模）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA=

1

a

BC(a＞0)．
（Ⅰ）当a=1时，求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求此时二面角A-PD-Q的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA垂直矩形底面ABCD，利用直线与平面垂直的性质得到PA垂直BD，由a=1，知道底面ABCD为正方形，从而得到BD垂直于△PAC，由此能够证明BD⊥PC．
（Ⅱ）由AB，AD，AP两两垂直，分别以它们所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立坐标系．借助空间向量先求出a=2，m=1．然后求出设面PQD的法向量

p

=(

1

2

，

1

2

，1)，取面PAD的法向量

q

=(1，0，0)，由此利用向量法能求出二面角A-PD-Q的余弦值．

解答：证明：（Ⅰ）∵PA垂直矩形底面ABCD，
∴PA垂直BD，
∵AB=PA=

1

a

BC(a＞0)，
a=1，
∴AB=PA=BC，
∴底面ABCD为正方形，
∴BD垂直于AC，
∴BD垂直于△PAC，
∴BD⊥PC．
解：（Ⅱ）∵AB，AD，AP两两垂直，分别以它们所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立坐标系

令AB=1，则BC=a，
B（1，0，0），D（0，a，0），C（1，a，0），P（0，0，1），
设BQ=m，Q（1，m，0），（0≤m≤a），
要使PQ⊥QD，只要

PQ

•

QD

=-1+m(a-m)=0，
即m²-am+1=0，
由△=a²-4=0，得a=2，此时m=1．
∴BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD时，
Q为BC的中点，且a=2，
设面PQD的法向量

p

=(x，y，1)，
则

p • QD =0 p •  DP =0

，即

-x+y=0 -2y+1=0

，
∴

p

=(

1

2

，

1

2

，1)，
取面PAD的法向量

q

=(1，0，0)，
则＜

p

，

q

＞的大小与三面角A-PD-Q的大小相等，
∵cos＜

p

，

q

＞=

p • q

| p || q |

=

6

6

，
∴二面角A-PD-Q的余弦值为

6

6

．

点评：本题以四棱锥为载体，考查线面平行，考查线面角，考查面面角，综合性强，难度大，容易出错．解决问题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解．