Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF₂与椭圆的另一个交点为C，若${S}_{△ABC}=3{S}_{△BC{F}_{2}}$，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{10}$

Answer 1

分析 由题意可知：可设A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（x，y），由${S}_{△ABC}=3{S}_{△BC{F}_{2}}$，可得$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，根据向量的坐标运算求得x=2c，y=-$\frac{{b}^{2}}{2a}$，代入椭圆方程，根据离心率公式即可求得椭圆的离心率．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，设椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
由x=-c，代入椭圆方程可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，可设A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（x，y），
由${S}_{△ABC}=3{S}_{△BC{F}_{2}}$，
可得$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，即有（2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$）=2（x-c，y），即2c=2x-2c，$\frac{{b}^{2}}{a}$=2y，
可得：x=2c，y=-$\frac{{b}^{2}}{2a}$，
代入椭圆方程可得：$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}=1$，由b²=a²-c²，根据离心率公式可知：e=$\frac{c}{a}$，
整理得：16e²+1-e²=4，解得e=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由0＜e＜1，则e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故选A．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．