Question

给出集合A={-2，-1，，，，1，2，3}。已知a∈A，使得幂函数为奇函数，指数函数在区间(0，+∞)上为增函数。
（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；
（2）判断f(x)在(0，+∞)的单调性，并证明；
（3）解方程：f[g(x)]=g[f(x)]。

Answer 1

（1）a=3
（2）f(x)=x³在(0，+∞)上为增函数
（3）x₁=0，x₂=，x₃=

解：（1）指数函数在区间(0，+∞)上为增函数，∴a>1，∴a只可能为2或3。而当a=2时，幂函数f(x)=x²为偶函数，只有当a=3时，幂函数f(x)=x³为奇函数故a=3…３分
（2）f(x)=x³在(0，+∞)上为增函数。                             
证明：在(0，+∞)上任取x₁，x₂，x₁<x₂，
f(x₁)-f(x₂)==，
∵x₁<x₂，∴x₁-x₂<0，>0，∴f(x₁)-f(x₂)>0，∴f(x₁)>f(x₂)。
∴f(x)=x³在(0，+∞)上为增函数。                                    …８分
（3）　　　　　　　　　　　．．．．１０分
根据指数函数的性质，得3x=x³，∴x₁=0，x₂=，x₃=。          …1２分