Question

19．已知等差数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃=9，a₂+a₈=18，数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2b_n-2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差中项的性质及已知条件“a₁+a₂+a₃=9、a₂+a₈=18”可得公差，进而可得数列{a_n}的通项；利用“b_n+1=S_n+1-S_n”及“b₁=2b₁-2”，可得公比和首项，进而可得数列{b_n}的通项；
（2）利用${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁+a₂+a₃=9，∴3a₂=9，即a₂=3，
∵a₂+a₈=18，∴2a₅=18，即a₅=9，
∴3d=a₅-a₂=9-3=6，即d=2，
∴a₁=a₂-d=3-2=1，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
∵S_n=2b_n-2，
∴b_n+1=S_n+1-S_n=2b_n+1-2b_n，
即b_n+1=2b_n，
又b₁=2b₁-2，∴b₁=2，
∴数列{b_n}是以首项和公比均为2的等比数列，
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ；
∴数列{a_n}和{b_n}的通项公式分别为：a_n=2n-1、b_n=2ⁿ；
（2）由（1）知${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．