Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点，F为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的 正切值为

7

2

，若二面角E-AF-C的余弦值为

3 13

13

，求

PF

PC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据条件得到△ABC为正三角形，结合E为BC的中点以及BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD内的射影，从而得到AE与PD垂直．
（Ⅱ）以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，确定平面AFC、平面AEF的法向量，根据二面角E-AF-C的余弦值为

3 13

13

，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，所以AE⊥PD；
（Ⅱ）以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

设AB=2，

PF

PC

=λ，则A（0，0，0），B（

3

，-1，0），D（0，2，0）
E（

3

，0，0），
过A作AH⊥PD，垂足为H，连接AH，则∠AHE为EH与平面PAD所成最大角，
∵EH与平面PAD所成最大角的正切值为

7

2

，AE=

3

∴AH=

2 21

7

，∴DH=

4 7

7

，∴PD=

7

∴PA=

3

∴P（0，0，

3

），F（

3

λ，λ，

3

(1-λ)），

DB

=（

3

，-3，0）为平面AFC的一个法向量
设平面AEF的法向量为

n1

=(x，y，z)，则

n1 • AE =0 n1 • AF =0

，即

3 x=0 3 λx+λy+ 3 (1-λ)=0

∴可取

n1

=(0，

3λ-3

λ

，

3

)
∵二面角E-AF-C的余弦值为

3 13

13

，
∴

3(1-λ)

2 4λ2-6λ+3

=

3 13

13

∴λ=

1

3

∴

PF

PC

=

1

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的性质，考查空间角问题，掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法求空间角是解题的关键，属于中档题．