Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱BB₁和DD₁的中点．
（1）求证：平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）试在棱DC上取一点M，使D₁M⊥平面ADE；
（3）设正方体的棱长为1，求四面体A₁-FEA的体积．

Answer 1

分析：（1）证明四边形DFB₁E为平行四边形，再利用AD∥B₁C₁，这样，面平面B₁FC内有2条相交线B₁C₁和B₁F平行于另一个平面．
（2）取DC中点M，证明D₁M⊥B₁C₁，D₁M⊥FC₁，从而D₁M⊥平面B₁FC₁，再根据平面B₁FC₁∥平面ADE，证得D₁M⊥平面ADE．
（3）等体积法，四面体A₁-FEA和四面体F-EAA₁等体积，而面体F-EAA₁的高是正方体棱长，面积是正方体一个面的面积，所以体积可求．

解答：解：（1）证明：∵E、F分别为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱BB₁和DD₁中点．∴DF∥B₁E且DF=B₁E
∴四边形DFB₁E为平行四边形，
即FB₁∥DE，
由∵AD∥B₁C₁（2分）
又AD∩DE=D，B₁C₁∩B₁F=B₁
∴平面B₁FC∥平面ADE．（4分）

（2）证明：取DC中点M，连接D₁M，
由正方体性质可知，D₁M⊥B₁C₁，
且△DD₁M≌△C₁D₁F  （5分）
所以∠D₁C₁F=∠DD₁M，
又∠D₁C₁F+∠D₁FC₁=90⁰
所以∠D₁D₁M+∠D₁FC₁=90⁰
所以D₁M⊥FC₁（6分）
又FC₁∩B₁C₁=C₁
∴D₁M⊥平面B₁FC₁
又由（1）知平面B₁FC₁∥平面ADE．
所以D₁M⊥平面ADE．（8分）

（3）解：由正方体性质有点F到棱AA₁的距离及点E到侧面A₁ADD₁的距离都是棱长1（9分）
∴S△AA1F=

1

2

•AA1•1=

1

2

∴VA1-AEF=VE-AA1F=

1

3

•

1

2

•1=

1

6

（12分）

点评：本题考查面面平行的证明方法、线面垂直的证明方法及等体积法．