Question

22.设椭圆+y²=1的两个焦点是F₁（－c，0）与F₂（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点P，使得直线PF₁与直线PF₂垂直.

（Ⅰ）求实数m的取值范围;

（Ⅱ）设L是相应于焦点F₂的准线，直线PF₂与L相交于点Q.若=

2－.求直线PF₂的方程.

　

Answer 1

22. 本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力.

　　解：（Ⅰ）由题设有m＞0，c=，

设点P的坐标为（x₀，y₀），由PF₁⊥PF₂，得=－1，

化简得x₀²+y=m.                                                         ①

将①与+y₀²=1联立，解得x₀²=，y₀²=.

由m＞0，x₀²=≥0，得m≥1.

所以m的取值范围是m≥1.

（Ⅱ）准线L的方程为x=.设点Q的坐标为（x₁，y₁），则

x₁=.

==.                                     ②

将x₀=代入②，化简得

==m+.

由题设=2－，得m+=2－，无解.

将x₀=－代入②，化简得

==m－.

由题设=2－，得m－=2－.

解得m=2.

从而x₀=－，y₀=±，c=，得PF₂的方程

y=±（－2）（x－）.