Question

若方程x³=3x-1的3个根分别是x₁、x₂、x₃，其中x₁＜x₂＜x₃，则x₂所在的区间为

 

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Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：构造函数f（x）=x³-3x+1，利用导数研究函数的极值，结合根的存在条件，即可得到结论．

解答： 解：设f（x）=x³-3x+1，
则f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
由f′（x）＞0，解得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得-1＜x＜1，此时函数单调递减，
即x=1是函数的极小值f（1）=-1，
当x=-1时，函数取得极大值f（-1）=3，
则x₁＜-1，-1＜x₂＜1，x₃＞1，
∵f（0）=1＞0，
∴f（0）f（1）＜0，
即x₂所在的区间为（0，1），
故答案为：（0，1）

点评：本题主要考查方程根的区间的判断．构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值，利用数形结合是解决本题的关键．