Question

【题目】若对任意x∈（0，π），不等式ex﹣e﹣x＞asinx恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.[﹣2，2]
B.（﹣∞，e]
C.（﹣∞，2]
D.（﹣∞，1]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：令f（x）=ex﹣e﹣x﹣asinx， 当a≤0时，∵x∈（0，π），∴ex＞e﹣x ， sinx＞0，∴ex﹣e﹣x＞0，﹣asinx≥0，∴f（x）＞0；
当a＞0时，f′（x）=ex+e﹣x﹣acosx，
①若0＜a≤2，∵x∈（0，π），∴ex+e﹣x＞2，acosx＜a≤2，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，π）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，满足题意；
②若a＞2时，f′（0）=2﹣a＜0，f′（ ）＞0，∴存在x0∈（0， ），使得f′（x0）=0．
令g（x）=ex+e﹣x﹣acosx，∵g′（x）=ex﹣e﹣x+asinx在（0， ）上单调递增，∴g′（x）＞g′（0）=0，
∴g（x）=f′（x）=ex+e﹣x﹣acosx在（0， ）上单调递增，∴x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0不满足题意．
综上所述，a∈（﹣∞，2]，
故选：C．