Question

（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=2-（

3

sinx-cosx）²．
（Ⅰ）求f（

π

3

）的值和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用特殊角的三角函数值即可得到f(

π

3

)，利用倍角公式和两角和差的正弦公式和周期公式即可得出；
（II）由x∈[-

π

6

，

π

3

]时，得到(2x+

π

6

)∈[-

π

6

，

5π

6

]，再利用正弦函数的单调性即可得到最值．

解答：解：（I）f(

π

3

)=2-(

3

×

3

2

-

1

2

)2=2-1=1．
∵函数f（x）=2-（

3

sinx-cosx）²
=2-(3sin2x+cos2x-2

3

sinxcosx)
=2-（1+2sin2x-

3

sin2x)
=1-2sin2x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)
=2sin(2x+

π

6

)
∴函数f（x）的周期为T=

2π

2

=π．
（II）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，(2x+

π

6

)∈[-

π

6

，

5π

6

]，
所以当x=-

π

6

时，函数取得最小值f(-

π

6

)=-1；
当x=

π

6

时，函数取得最大值f(

π

6

)=2．

点评：熟练掌握特殊角的三角函数值、倍角公式和两角和差的正弦公式和周期公式、正弦函数的单调性是解题的关键．