Question

某商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数是：P=

t+20(0＜t＜25，t∈ N+)  -t+100(25≤t≤30，t∈ N+)

该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是：Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N^*），求这种商品的日销售金额的最大值．

Answer 1

分析：先设日销售金额为y元，根据y=P•Q写出函数y的解析式，再分类讨论：当0＜t＜25，t∈N₊时，和当25≤t≤30，t∈N₊时，分别求出各段上函数的最大值，最后综合得出这种商品日销售额的最大值即可．

解答：解：设日销售金额为y元，则y=P•Q
y=

(t+20)(-t+40)，(0＜t＜25，t∈N+) (-t+100)(-t+40)，(25≤t≤30，t∈N+)

当0＜t＜25，t∈N₊时，
y=-t²+20t+800=-（t-10）²+900，
∴t=10时，y_max=900元．
当25≤t≤30，t∈N₊时，
y=t²-140t+4000=（t-70）²-900，
∴t=25时，y_max=1125元．
综上所述，这种商品日销售额的最大值为1125元．

点评：本小题主要考查建立函数关系、分段函数等基础知识，解决实际问题的首要步骤：阅读理解，认真审题．本题的函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．