Question

某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h（4≤v≤20）从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h（30≤w≤100）自B港向距300 km的C市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C市．设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h．
（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；
（2）如果已知所需的经费p=100+3×（5-x）+2×（8-y）（元），那么v、w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？

Answer 1

分析：（1）要作出满足条件的x，y的范围，要先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域；
（2）要求花费的最小值，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．
注意：最后要将所求最优解还原为实际问题．

解答：解：（1）依题意得v=

50

y

，w=

300

x

，4≤v≤20，30≤w≤100．
∴3≤x≤10，

5

2

≤y≤

25

2

．①
由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，即9≤x+y≤14．②
因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）．

（2）∵p=100+3•（5-x）+2•（8-y），
∴3x+2y=131-p．
设131-p=k，那么当k最大时，p最小．
在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为-

3

2

的直线3x+2y=k中，
使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小．
此时，v=12.5，w=30，p的最小值为93元．

点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数Z与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中．