Question

【题目】已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．
（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；
（2）在（1）的条件下，证明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；
（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，eb）内实根的个数（e为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R），

∴ ，g'（x）=2ax﹣1．

∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，

∴ ，解得

（2）解：设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣（x2﹣x），x＞0

则 ，

∴当x＞1时，y＜0；当﹣ ＜x＜0时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；当x＜﹣ 时，y＞0．

∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．

∴F（x）最大值为F（1）=ln1﹣（1﹣1）=0．

∴F（x）=f（x）﹣g（x）≤0，即f（x）≤g（x）

（3）解：∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x，a=1，b＞2e

∴f（x）﹣g（x）=x转化为blnx﹣x2=0，

令G（x）=blnx﹣x2，则 ，

由 =0，得x= ，

∵x∈（1，eb）且b＞2e，

∴ ，eb＞ ，

∴由G′（x）＞0得1＜x＜ ，由G′（x）＜0，得 ，

∴G（x）在 上单调递增，在 上单调递减

∴当x= 时， ，

∵b＞2e，∴ ，∴ ，∴

又∵G（1）=﹣1＜0G（eb）=blneb﹣e2b=b2﹣e2b=（b+eb）（b﹣eb）＜0，

∴方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，eb）内有两个实根

【解析】（1）由 ，g'（x）=2ax﹣1，利用曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，能求出实数a、b的值．（2）设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣（x2﹣x），x＞0，则 ，由此推导出F（x）最大值为F（1）=0．从而能够证明f（x）≤g（x）．（3）由f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x，a=1，b＞2e，知f（x）﹣g（x）=x转化为blnx﹣x2=0，令G（x）=blnx﹣x2 ， 则 ，由此能够推导出方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，eb）内有两个实根．