Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3

2

；
（2）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD₁B₁相交于点，连接OG，证明AO⊥平面BDD₁B₁，说明∠AGO是AP与平面BDD₁B₁所成的角．在Rt△AOG中，利用直线AP与平面BDD₁B₁所成的角的正切值为3

2

．求出m的值．
（2）点Q应当是A_IC_I的中点，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，通过证明 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，D₁O₁⊥AP．利用三垂线定理推出结论．

解答：解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD₁B₁相交于点G，
连接OG，因为PC∥平面BDD₁B₁，平面BDD₁B₁∩平面APC=OG，
故OG∥PC，所以，OG=

1

2

PC=

m

2

．
又AO⊥BD，AO⊥BB₁，所以AO⊥平面BDD₁B₁，
故∠AGO是AP与平面BDD₁B₁所成的角．
在Rt△AOG中，tan∠AGO=

OA

GO

=

2 2

m 2

=3

2

，即m=

1

3

．
所以，当m=

1

3

时，直线AP与平面BDD₁B₁所成的角的正切值为3

2

．
（2）可以推测，点Q应当是A_IC_I的中点，当是中点时
因为D₁O₁⊥A₁C₁，且 D₁O₁⊥A₁A，A₁C₁∩A₁A=A₁，
所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，
又AP?平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP．
那么根据三垂线定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影与AP垂直．

点评：本题考查直线与平面所成的角，考查直线与平面垂直的判定，三垂线定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力．