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P1是椭圆+y2=1(a>0且a≠1)上不与顶点重合的任一点,P1P2是垂直于x轴的弦,A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆的两个顶点,直线A1P1与直线A2P2的交点为P.

(1)求点P的轨迹曲线C的方程;

(2)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,求曲线C的离心率e的取值范围;

(3)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,O为坐标原点,且=-3,求a的值.

(文)(本小题满分12分)设函数f(x)=x3+2ax2-3a2x+a(0<a<1).

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若当x∈[a,2]时,恒有f(x)≤0,试确定实数a的取值范围.

(理)解析:(1)设P1(m,n)(mn≠0),则P2(m,-n),直线A1P1:y=(x+a);①

直线A2P2:y=(x-a);②                                                   

设P点坐标为(x,y),

由①②得m=,n=,                                                      

       

∵点P1(m,n)在椭圆+y2=1上,

∴有m2+a2n2=a2,

即()2+a2()2=a2,整理得-y2=1(y≠0),

∴直线A1P1与直线A2P2交点P的轨迹方程是双曲线-y2=1(y≠0).                

(2)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.

又∵a>0且a≠1,

∴4a4+8a2(1-a2)>0.

∴0<a2<2且a2≠1.                                                         

双曲线的离心率e=.

<e<或e>,即e∈()∪(,+∞).                        

(3)设A(x1,y1)、B(x2,y2),

则-3=

=x1x2+y1y2

=x1x2+(1-x1)(1-x2)

=2x1x2-(x1+x2)+1

=+1,

=-4,由a>0,得a=.                                               

(文)解:(1)∵f(x)=x3+2ax2-3a2x+a(0<a<1),

∴f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a).                                              

∵0<a<1,∴f′(x)>0a<x<3a,f′(x)<0x<a或x>3a.                      

∴函数f(x)的递增区间为[a,3a];递减区间为(-∞,a],[3a,+∞).                   

(2)∵x∈[a,2],

①当2≤3a,即≤a<1时,f(x)在区间[a,2]内是增函数.

∴f(x)max=f(2)=a-6a2.

又当x∈[a,2]时,恒有f(x)≤0,

.                                       

②当2>3a即0<a<时,则f(x)在[a,3a]上单调递增;在[3a,2]上单调递减,

∴f(x)max=f(3a)=a.

又当x∈[a,2]时,恒有f(x)≤0,

(无解).

综上所述,a的取值范围是≤a<1.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C1的方程是
x2
4
+y2=1
,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,C2的左、右顶点分别为C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:y=kx+
2
与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B,且
OA
OB
>2
(O为原点),求k的取值范围;
(3)设P1,P2分别是C2的两条渐近线上的点,点M在C2上,且
OM
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)
,求△P1OP2的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C1的方程是
x2
4
+y2=1
,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,C2的左、右顶点分别为C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:y=kx+
2
与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B,且
OA
OB
>2
(O为原点),求k的取值范围;
(3)设P1,P2分别是C2的两条渐近线上的点,点M在C2上,且
OM
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)
,求△P1OP2的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

P1是椭圆+y2=1(a>0且a≠1)上不与顶点重合的任一点,P1P2是垂直于x轴的弦,A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆的两个顶点,直线A1P1与直线A2P2的交点为P.

(1)求点P的轨迹曲线C的方程;

(2)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,求曲线C的离心率e的取值范围;

(3)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,O为坐标原点,且=-3,求a的值.

(文)设函数f(x)=x3+2ax2-3a2x+a(0<a<1).

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若当x∈[a,2]时,恒有f(x)≤0,试确定实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=,x>0.

(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,证明你的结论;

(2)若当x>0时,f(x)>恒成立,求正整数k的最大值.(参考数据:ln2≈0.7,ln3≈1.1)

(文) P1是椭圆+y2=1(a>0且a≠1)上不与顶点重合的任一点,P1P2是垂直于x轴的弦,A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆的两个端点,直线A1P1与直线A2P2交点为P.

(1)求P点的轨迹曲线C的方程;

(2)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,求曲线C的离心率e的取值范围;

(3)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,O为坐标原点,且=-3,求a的值.

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