(1)求点P的轨迹曲线C的方程;
(2)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,求曲线C的离心率e的取值范围;
(3)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,O为坐标原点,且=-3,求a的值.
(文)(本小题满分12分)设函数f(x)=x3+2ax2-3a2x+a(0<a<1).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若当x∈[a,2]时,恒有f(x)≤0,试确定实数a的取值范围.
(理)解析:(1)设P1(m,n)(mn≠0),则P2(m,-n),直线A1P1:y=(x+a);①
直线A2P2:y=(x-a);②
设P点坐标为(x,y),
由①②得m=,n=,
∵点P1(m,n)在椭圆+y2=1上,
∴有m2+a2n2=a2,
即()2+a2()2=a2,整理得-y2=1(y≠0),
∴直线A1P1与直线A2P2交点P的轨迹方程是双曲线-y2=1(y≠0).
(2)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.
又∵a>0且a≠1,
∴4a4+8a2(1-a2)>0.
∴0<a2<2且a2≠1.
双曲线的离心率e=.
∴<e<或e>,即e∈()∪(,+∞).
(3)设A(x1,y1)、B(x2,y2),
则-3=
=x1x2+y1y2
=x1x2+(1-x1)(1-x2)
=2x1x2-(x1+x2)+1
=+1,
即=-4,由a>0,得a=.
(文)解:(1)∵f(x)=x3+2ax2-3a2x+a(0<a<1),
∴f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a).
∵0<a<1,∴f′(x)>0a<x<3a,f′(x)<0x<a或x>3a.
∴函数f(x)的递增区间为[a,3a];递减区间为(-∞,a],[3a,+∞).
(2)∵x∈[a,2],
①当2≤3a,即≤a<1时,f(x)在区间[a,2]内是增函数.
∴f(x)max=f(2)=a-6a2.
又当x∈[a,2]时,恒有f(x)≤0,
∴.
②当2>3a即0<a<时,则f(x)在[a,3a]上单调递增;在[3a,2]上单调递减,
∴f(x)max=f(3a)=a.
又当x∈[a,2]时,恒有f(x)≤0,
∴(无解).
综上所述,a的取值范围是≤a<1.
科目:高中数学 来源: 题型:
x2 |
4 |
2 |
OA |
OB |
OM |
1 |
2 |
OP1 |
OP2 |
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题
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OA |
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OP1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(1)求点P的轨迹曲线C的方程;
(2)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,求曲线C的离心率e的取值范围;
(3)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,O为坐标原点,且=-3,求a的值.
(文)设函数f(x)=x3+2ax2-3a2x+a(0<a<1).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若当x∈[a,2]时,恒有f(x)≤0,试确定实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,证明你的结论;
(2)若当x>0时,f(x)>恒成立,求正整数k的最大值.(参考数据:ln2≈0.7,ln3≈1.1)
(文) P1是椭圆+y2=1(a>0且a≠1)上不与顶点重合的任一点,P1P2是垂直于x轴的弦,A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆的两个端点,直线A1P1与直线A2P2交点为P.
(1)求P点的轨迹曲线C的方程;
(2)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,求曲线C的离心率e的取值范围;
(3)设曲线C与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,O为坐标原点,且=-3,求a的值.
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