精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=n2+2n.等比数列{bn}满足:b1=3,b4=81.
(1)求证:数列{an}为等差数列;
(2)若Tn=
a1
b1
+
a2
b2
+
a3
b3
+…+
an
bn
,求Tn
考点:数列的求和
专题:
分析:(1)由Sn=n2+2n,得a1=S1=3,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1,由此能证明{an}为等差数列.
(2)由已知条件求出bn=3,从而得到
an
bn
=
2n+1
3n
,由此利用错位相减法能求出Tn=
a1
b1
+
a2
b2
+
a3
b3
+…+
an
bn
解答: (1)证明:∵数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=n2+2n,
∴n=1时,a1=S1=1+2=3,…(2分)
n≥2且n∈N*时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1
经检验a1亦满足an=2n+1,
∴an=2n+1(n∈N*)…(5分)
∴an+1-an=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2为常数
∴{an}为等差数列,且通项公式为an=2n+1(n∈N*)…(7分)
(2)解:设等比数列{bn}的公比为q,则q3=
b4
b1
=27

∴q=3,则bn=3×3n-1=3n,n∈N*
an
bn
=
2n+1
3n
…(9分)
Tn=
3
3
+
5
32
+
7
33
+…+
2n+1
3n
,①
1
3
T
n
=
3
32
+
5
33
+
7
34
+…+
2n-1
3n
+
2n+1
3n+1
,②
①-②得:
2
3
Tn=1+2(
1
32
+
1
33
+
1
34
…+
1
3n
)-
2n+1
3n+1
=1+2×
1
32
(1-
1
3n-1
)
1-
1
3
-
2n+1
3n+1
=
4
3
-
2n+4
3n+1
…(13分)
Tn=2-
n+2
3n
,n∈N*
…(15分)
点评:本题考查等差数列的证明,考查数列的前n项和的证明,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

某学校举办一次以班级为单位的广播操比赛,9位评委给高一(1)班打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清,若记分员计算无误,则数字x应该是
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC中,A,B,C对边分别为a,b,c,AD是BC边上的中线,C=60°.
(1)若a=6且b=2,求AD的长;
(2)若AD=2,求S△ABC的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线l1:x+3y-3m2=0和直线l2:2x+y-m2-5m=0相交于点P(m∈R).
(1)用m表示直线l1与l2的交点P的坐标;
(2)当m为何值时,点P到直线x+y+3=0的距离最短?并求出最短距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知|
a
|=4,|
b
|=2,且
a
b
夹角为120°求:
(Ⅰ)(
a
+3
b
)•(
a
-3
b
);
(Ⅱ)
a
a
+
b
的夹角θ.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(Ⅰ)已知a是实数,i是虚数单位,
(a-i)(1-i)
i
是纯虚数,求a的值;
(Ⅱ)设z=
7+i
3+4i
,求|z|.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若f(x)=
3
cos2ax-sinaxcosax(a>0)的图象与直线y=m(m>0)相切,并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列.
(1)求a和m的值;
(2)△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.若(
A
2
3
2
)是函数f(x)图象的一个对称中心,且a=4,求△ABC周长的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若关于x的不等式-
1
2
x2+2x>2ax的解集为{x|0<x<2},则实数a的值为
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c.若b2=ac,则
sinA+cosAtanC
sinB+cosBtanC
的取值范围是
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案