Question

已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）如果对于任意的，都有，求的取值范围.

Answer 1

（1）在和上单调递减，在上单调递增；（2）

试题分析：（1）先求导，根据可得的值。将的值代入导数解析式并将导数变形分解因式，讨论导数的正负，导数大于0得增区间，导数小于0得减区间。（2）将变形为（注意所以不等式两边同除以时不等号应改变）。设.将问题转化为时恒成立问题，即。将函数求导，分析讨论导数的正负，从而判断函数的单调性，根据单调性求其最值。
解：（1） 因为，                                        1分
因为，
所以.                                                    2分
所以.
令，解得.                                   3分
随着的变化，和的变化情况如下：

即在和上单调递减，在上单调递增.         6分
（2） 因为对于任意的，都有，
即，
所以.                                      8分
设.
因为，                                     9分
又因为，
所以.                                         10分
所以.                                            
所以在上单调递增.                                 11分
所以.                                      12分
即.                                                     13分