Question

19．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，BD=DC，AF=C₁F．
（1）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：DF∥平面A₁ABB₁．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形底边中线的性质可得AD⊥BC，再由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性质得到AD⊥CC₁，然后利用线面垂直的判断得到AD⊥平面BCC₁B₁，再由面面垂直的判断得答案；
（2）连结CA₁，∵AF=C₁F，可得A₁F=CF，且A₁，F，C共线，进一步得到DF∥BA₁，再由线面平行的判定得答案．

解答 证明：（1）由AB=AC，BD=DC，可得AD⊥BC，
又直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，∴AD⊥CC₁，
∵CC₁∩BC=C，∴AD⊥平面BCC₁B₁，
而AD?平面ADC₁，
∴平面平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）连结CA₁，∵AF=C₁F，
∴F∈CA₁，且A₁F=CF，
连接BA₁，又BD=DC，
∴DF∥BA₁，
∵DF?平面A₁ABB₁，BA₁?平面A₁ABB₁．
∴有DF∥平面A₁ABB₁．

点评 本题考查平面与平面垂直的判断，考查了直线与平面平行的判断，考查学生的空间想象能力和思维能力，关键是熟记有关定理的内容，是中档题．