Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}满足b₁=2，点P(bn，bn+1)(n∈N*)在直线y=x+2上，
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设cn=an•bn(n∈N*)，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，易证

an+1

an

=2，b_n+1-b_n=2，结合题意可知数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，数列{b_n}是以2为首项，2为公差的等差数列，从而可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ⁺¹⇒T_n=c₁+c₂+…+c_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，利用错位相减法即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵2a_n=S_n+2，
∴2a_n+1=S_n+1+2，
∴2a_n+1-2a_n=S_n+1-S_n=a_n+1，
∴

an+1

an

=2，又2a₁=S₁+2，
∴a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
又b₁=2，b_n+1=b_n+2，
∴数列{b_n}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n；
（2）∵c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴2T_n=1•2³+2•2⁴…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
两式相减得：-T_n=2²+2³+2⁴…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=

22(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²
=（1-n）•2ⁿ⁺²-2²，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+2²．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系与等差关系的确定及其通项公式，突出考查错位相减法，属于中档题．