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记（1+ $数学公式$ ）（1+ $数学公式$ ）…（1+ $数学公式$ ）的展开式中，x的系数为a_n，x²的系数为b_n，其中 n∈N^．
（1）求a_n；
（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b_n= $数学公式$ （1+ $数学公式$ ）（1+ $数学公式$ ）对n∈N，n≥2恒成立？证明你的结论．

解：（1）根据多项式乘法运算法则，得a_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ．…（3分）
（2）计算得b₂= $\text{[math]}$ ，b₃= $\text{[math]}$ ．
代入b_n= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ），解得p=-2，q=-1． …（6分）
下面用数学归纳法证明b_n= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ （n≥2）：
①当n=2时，b₂= $\text{[math]}$ ，结论成立．
②设n=k时成立，即b_k= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ．
则当n=k+1时，b_k+1=b_k+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ．
由①②可得结论成立．　　　 …（10分）
分析：（1）根据多项式乘法运算法则，可得a_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，利用等比数列的求和公式，可得结论；
（2）先计算b₂，b₃的值，代入b_n= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ），解得p=-2，q=-1，再用数学归纳法证明．
点评：本题考查展开式的系数，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案

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