【题目】设命题:实数满足 (其中),命题:实数满足
(1)若,且为真命题,求实数的取值范围.
(2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)当a=1时,解得1<x<4,得到当p为真时,实数x的取值范围是1<x<4.当q为真时,解得2<x≤5,进而根据p∧q为真,即可求解;
(2)由是的必要不充分条件,即p是q的必要不充分条件,即且,根据集合的运算即可求解.
(1)当a=1时,x2-5ax+4a2<0即为x2-5x+4<0,解得1<x<4,
当p为真时,实数x的取值范围是1<x<4.当q为真时,由,知2<x≤5.
若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是(2,4).
(2)是的必要不充分条件,即p是q的必要不充分条件.
设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则且.由x2-5ax+4a2<0得(x-4a)(x-a)<0,∵a>0,∴A={x|a<x<4a},又B={x|2<x≤5},则a≤2且4a>5,解得<a≤2.
∴实数a的取值范围是.
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【题目】一个盒子中装有四张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是,现从盒子中随机抽取卡片,每张卡片被抽到的概率相等.
(1)若一次抽取三张卡片,求抽到的三张卡片上的数字之和大于的概率;
(2)若第一次抽一张卡片,放回后搅匀再抽取一张卡片,求两次抽取中至少有一次抽到写有数字的卡片的概率.
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【题目】唐三彩,中国古代陶瓷烧制工艺的珍品,它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点,在中国文化中占有重要的历史地位,在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔,唐三彩的生产至今已有1300多年的历史,对唐三彩的复制和仿制工艺,至今也有百余年的历史。某陶瓷厂在生产过程中,对仿制的100件工艺品测得其重量(单位; )数据,将数据分组如下表:
分组 | 频数 | 频率 |
4 | ||
26 | ||
28 | ||
10 | ||
2 | ||
合计 | 100 |
(1)在答题卡上完成频率分布表;
(2)以表中的频率作为概率,估计重量落在中的概率及重量小于2.45的概率是多少?
(3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值是作为代表.据此,估计这100个数据的平均值.
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【题目】《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题,“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例为“衰分比”.如:已知三人分配奖金的衰分比为,若分得奖金1000元,则所分得奖金分别为900元和810元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功,共获得奖金59040元,若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金,且甲与丙共获得奖金32800元,则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为( )
A.,12800元B.,12800元
C.,10240元D.,10240元
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【题目】已知圆,圆内一定点,动圆过点且与圆内切.记动圆圆心的轨迹为.
(Ⅰ)求轨迹方程;
(II)过点的动直线l交轨迹于M,N两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点Q,使得以线段MN为直径的圆恒过点Q?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力,某移动支付公司在我市随机抽取了100名移动支付用户进行调查,得到如下数据:
每周移动支付次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合计 | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
(1)如果认为每周使用移动支付超过3次的用户“喜欢使用移动支付”,能否在犯错误概率不超过的前提下,认为是否“喜欢使用移动支付”与性别有关?
(2)每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”,视频率为概率,在我市所有“移动支付达人”中,随机抽取4名用户,
①求抽取的4名用户中,既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率;
②为了鼓励女性用户使用移动支付,对抽出的女“移动支付达人”每人奖励500元,记奖励总金额为,求的数学期望.
附表及公式:
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