Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+4|，g（x）=x2+4x+3．
（1）求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若f（x）≥|1﹣5a|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）函数f（x）=|x﹣2|+|x+4|，g（x）=x2+4x+3，

不等式f（x）≥g（x）即：|x﹣2|+|x+4|≥x2+4x+3，

①当x＜﹣4时，不等式化为：﹣（x﹣2）﹣（x+4）≥x2+4x+3，

解得：﹣5≤x≤﹣1，∴﹣5≤x＜﹣4；

②当﹣4≤x≤2时，不等式化为：﹣（x﹣2）+（x+4）≥x2+4x+3，

解得：﹣2﹣ ≤x≤﹣2+ ，

∴﹣4≤x ；

③当x＞2时，不等式化为：（x﹣2）+（x+4）≥x2+4x+3，

解得：x∈，

综上：不等式的解集为：{x|﹣5≤x }

（2）解：因为|x﹣2|+|x+4|≥|x﹣2﹣x﹣4|=6，

f（x）≥|1﹣5a|恒成立，

所以6≥|1﹣5a|，即﹣6≤1﹣5a≤6，解得﹣1 ，

所以实数a的取值范围[﹣1， ]

【解析】（1）通过x与﹣4以及2的大小比较，去掉绝对值符号，化简不等式，然后求解即可．（2）利用绝对值的几何意义，求出函数的最小值，然后化简不等式求解a的范围即可．