Question

（1）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．
（2）对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．对于下列事件：①A：甲正好取得两只配对手套；②B：乙正好取得两只配对手套．试判断事件A与B是否独立？并证明你的结论．

Answer 1

（1）p²=2pcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x²+y²=2x，（x-1）²+y²=1，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，
又圆与直线相切，所以

|3•1+4•0+a|

9+16

=1，解得：a=2，或a=-8．
（2）设“甲正好取得两只配对手套”为事件A
∵从10只手套中任取4只有C₁₀⁴种不同的取法，
甲先任取一只要从5对中取一对且一对中又有两种不同的取法，
余下的乙从8只手套中取两只，有C₈²中取法，
根据古典概型公式得到
P（A）=

C 15 ×2× A 28

A 410

=

1

9

．
P（B）=

C 15 ×2× A 28

A 410

=

1

9

．
∵从10只手套中任取4只有C₁₀⁴种不同的取法，
甲乙两个人都取得成对的手套有C₅²×2×C₂¹×2种不同取法，
∴P（AB）=

C 25 ×2× C 12 ×2

A 410

=

1

63

，
又P（A）=

1

9

，P（B）=

1

9

，
∴P（A）P（B）=

1

81

，
∴P（A）P（B）≠P（AB），故A与B是不独立的．