Question

16．如图，平行四边形ABCD中，AB=1，AD=4，CE=$\frac{1}{3}$CB．CF=$\frac{2}{3}$CD，∠DAB=60°，求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{FE}$的值．

Answer 1

分析 根据向量的基本定理结合向量数量积的公式进行计算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{FE}$=$\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CF}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{FE}$=（-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$²+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{1}{3}×16$$+\frac{2}{3}$$+\frac{1}{3}×1×4×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$-$\frac{16}{3}$=-4．

点评 本题主要考查向量数量积的计算，根据向量基本定理求出$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{FE}$的表达式是解决本题的关键．