【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1,A1A⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,A1A=AB=6,D为AC中点.
(1)求三棱锥C1﹣BCD的体积;
(2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A1;
(3)求证:直线AB1∥平面BC1D.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)先根据△ABC为正三角形,D为AC中点,得到BD⊥AC,求出△BCD的面积;再根据C1C⊥底面ABC,根据体积公式求出三棱锥C1-BCD的体积;
(2)先根据A1A⊥底面ABC,得到A1A⊥BD,再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1.即可证平面BC1D⊥平面ACC1A1;
(3)连接B1C交BC1于O,连接OD,根据D为AC中点,O为B1C中点可得OD∥AB1,即可证:直线AB1∥平面BC1D.
(1)∵△ABC为正三角形,D为AC中点,∴BD⊥AC,
由AB=6可知,CD=3,BD= ,∴S△BCD=CDBD=.
又∵A1A⊥底面ABC,且A1A=AB=6,∴C1C⊥底面ABC,且C1C=6,
∴VC1BCD=S△BCDC1C=
(2)∵A1A⊥底面ABC,∴A1A⊥BD.
又BD⊥AC,∴BD⊥平面ACC1A1.
又BD平面BC1D,∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.
(3)连接B1C交BC1于O,连接OD,
在△B1AC中,D为AC中点,O为B1C中点,所以OD∥AB1,
又OD平面BC1D,∴直线AB1∥平面BC1D.
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【题目】某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进行防辐射处理,建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用(万元)和宿舍与工厂的距离的关系为: .为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条简易便道,已知修路每公里成本为万元,工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和.
⑴求的表达式;
⑵宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用最小,并求最小值.
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【题目】已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和为S3=.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.
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【题目】已知函数,(其中,,)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为,且图象上一个最低点为.
(1)求函数的解析式;
(2)当时,求函数的值域;
(3)若方程在上有两个不相等的实数根,求的值.
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【题目】某车间为了规定工时定额,需确定加工零件所花费的时间,为此做了4次试验,得到的数据如下:
零件的个数/个 | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的时间/小时 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
若加工时间与零件个数之间有较好的相关关系.
(1)求加工时间与零件个数的线性回归方程.
(2)试预报加工10个零件需要的时间.
附录:参考公式:,.
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【题目】已知定义域为的函数同时满足以下三个条件:
①对任意的,总有;
②;
③若,且,则有成立,则称为“友谊函数”.
()若已知为“友谊函数”,求的值.
()分别判断函数与在区间上是否为“友谊函数”,并给出理由.
()已知为“友谊函数”,且,求证:.
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【题目】设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2 , 若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .
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【题目】如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,
(1)求p的值;
(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.
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