Question

【题目】已知抛物线的焦点为 ，过点且斜率为的直线交曲线于两点，交圆于两点（两点相邻）.

(Ⅰ)若，当时，求的取值范围；

(Ⅱ)过两点分别作曲线的切线，两切线交于点，求与面积之积的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)取最小值1

【解析】试题分析：（1）直线的方程为，代入得,根据韦达定理以及向量共线的条件可得，结合可得的取值范围；（2）利用导数的几何意义以及直线的点斜式方程可得切线方程为 ，方程为 ，两式联立结合韦达定理可得，利用点到直线距离公式、焦半径公式以及三角形的面积公式可得,当且仅当时，取最小值1.

试题解析：(Ⅰ)依题意直线的方程为，代入得,

设,则.

因为，即

，即；

因为，所以,又函数在单调递减，

所以,

(Ⅱ)因为,所以

则切线方程为 ①

方程为 ②

②--①得,

③，

将③代入①得,所以

到直线的距离

,

,

因为,

所以

,

当且仅当时，取最小值1.