Question

【题目】已知函数f（x）=1﹣ 为定义在R上的奇函数．
（1）试判断函数的单调性，并用定义加以证明；
（2）若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是R上的奇函数，故f（0）=0，

故1﹣ =0，解得：a=1，

故f（x）=1﹣ ，

x→+∞时，f（x）→1，

x→﹣∞时，f（x）→﹣1，

f（x）在R递增，

证明如下：

设x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）

=1﹣ ﹣1+

= ，

∵x1＜x2，∴ ＜ ，

∴f（x1）＜f（x2），

故f（x）在R递增

（2）解：由（1）f（x）在[﹣1，1]递增，

而f（﹣1）= ，f（1）= ，

故x∈[﹣1，1]时，f（x）∈[ ， ]，

若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上有解，

则m∈[ ， ]

【解析】（1）根据函数的奇偶性得到f（0）=0，求出a的值，根据单调性的定义证明即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）在x∈[﹣1，1]的值域，从而求出m的范围即可．
【考点精析】利用函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．