Question

（2011•朝阳区二模）已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱BB₁，DD₁上的动点，且BE=D₁F=λ(0＜λ≤

1

2

)．设EF与AB所成的角为α，与BC所成的角为β，则α+β的最小值（　　）

A．不存在

B．等于60

C．等于90

D．等于120

Answer 1

分析：在AA₁上取一点M，使EM∥AB，连接MF，则∠MEF=α，同理可得α=β，解△MFE，可以求出cosα的取值范围，进而根据余弦函数的单调性，求出α的取值范围，进而求出α+β的范围．

解答：解：在AA₁上取一点M，使EM∥AB，连接MF，则∠MEF=α，
同理可判断α=β．
在△MFE中，ME=1，EF=

2+(1-2λ)2

，MF=

1+(1-2λ)2

，
所以cosα=

1

2+(1-2λ)2

≥

2

2

，
所以α_min=45°，
因此（α+β）_min=90°．
故选C

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，棱柱的结构特征，其中在判断EF与AB所成的角α、BC所成的角β时不能从图形直接判断为相等是本题解答的一个障碍，由三角函数值确定角也是较为容易出错的地方．此外若采用空间坐标运算还可能出现坐标的确定有误．