Question

（2013•广州三模）如图，已知直线l：y=4x及曲线C：y=x²，C上的点Q₁的横坐标为a₁（0＜a₁＜4）．从曲线C上的点Q_n（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点P_n+1，再从点P_n+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q_n+1．Q_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a_n}．
（1）试求a_n+1与a_n的关系； 
（2）若曲线C的平行于直线l的切线的切点恰好介于点Q₁，Q₂之间（不与Q₁，Q₂重合），求a₃的取值范围；
（3）若a₁=3，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得Q_n的坐标为（a_n，an2），Q_n+1的坐标为（a_n+1，an+12），于是点P_n+1的坐标为（a_n+1，4a_n+1），从而有4a_n+1=an2；
（2）设切点为（t，t²），则y′=4，可求得t=2．解不等式

a2＜2 a1＞2

可求得2＜a₁＜2

2

，a₃=

1

64

a

4 1

，继而可求得a₃的取值范围；
（3）由a_n+1=

1

4

an2可求得lga_n+1=2lga_n+lg

1

4

，继而可知数列{lga_n+lg

1

4

}是以2为公比，首项为lg

3

4

的等比数列，于是可求得数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）因为点Q_n的坐标为（a_n，an2），Q_n+1的坐标为（a_n+1，an+12），
所以点P_n+1的坐标为（a_n+1，4a_n+1），
则4a_n+1=an2，故a_n+1与a_n的关系为a_n+1=

1

4

an2．
（2）设切点为（t，t²），则y′=2x得2t=4，所以t=2．
解不等式

a2＜2 a1＞2

得2＜a₁＜2

2

，a₃=

1

4

a22=

1

4

(

1

4

a

2 1

)2=

1

64

a

4 1

．
∵2＜a₁＜2

2

，
∴

1

4

＜a₃＜1．即a₃的取值范围是（

1

4

，1）．
（3）由a_n+1=

1

4

an2得lga_n+1=lg（

1

4

an2），
即lga_n+1=2lga_n+lg

1

4

，
故lga_n+1+lg

1

4

=2（lga_n+lg

1

4

），lga₁+lg

1

4

=lg3+lg

1

4

=lg

3

4

≠0，
所以数列{lga_n+lg

1

4

}是以2为公比，首项为lg

3

4

的等比数列，
lga_n+lg

1

4

=2^n-1lg

3

4

=lg(

3

4

)2n-1，即lg

a   n

4

=lg(

3

4

)2n-1，
解得a_n=4•(

3

4

)2n-1，
数列{a_n}的通项公式为a_n=4•(

3

4

)2n-1．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，突出考查等比数列的通项公式，考查等价转化思想于逻辑思维能力与运算能力，属于难题．