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【题目】已知数列满足记数列的前项和为

1)求证:数列为等比数列,并求其通项

2)求

3)问是否存在正整数,使得成立?说明理由.

【答案】(1) (2) (3)当为偶数时, 都成立,(3)详见解析

【解析】试题分析:(1),所以为等比数列, 所以;(2 ,所以 分奇偶讨论,当为奇数时,可令,当为偶数时,可令;(3),当 为偶数时, 成立 .

试题解析

因为

所以

(2) ,所以

为奇数时,可令

为偶数时,可令

3)假设存在正整数 ,使得 成立,

因为

所以只要

即只要满足 ,和②

对于①只要 就可以;

对于②

为奇数时,满足 ,不成立,

为偶数时,满足,即

因为

,且当 时,

所以当 为偶数时,②式成立,即当 为偶数时, 成立 .

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