Question

20．我们把同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数：
（1）对任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；
（2）当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
①f（x）=x²②f（x）=x²+1③f（x）=lnx²④f（x）=2^x-1
则以上四个函数中是M函数的有①③④（填写编号）

Answer 1

分析 利用已知条件函数的新定义，对四个选项逐一验证两个条件，判断即可．

解答 解：在[0，1]上，四个函数都满足：对任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；
当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1；
对于①，f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（x₁+x₂）²-（x₁²+x₂²）=2x₁x₂≥0，
∴①f（x）=x²是M函数；
对于②，f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=[（x₁+x₂）²+1]-[（x₁²+1）+（x₂²+1）]=2x₁x₂-1＜0，
∴②f（x）=x²+1不是M函数；
对于③，f（x）=lnx=2lnx，
f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=2ln（x₁+x₂）-（2lnx₁+2lnx₂）=ln$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}•{{x}_{2}}^{2}}$，
而x₁≥0，x₂≥0，
∴x₁+x₂≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴$\frac{{{x}_{1}{+x}_{2}}^{\;}}{{{x}_{1}}^{\;}•{{x}_{2}}^{\;}}$≥2，即$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}•{{x}_{2}}^{2}}$≥4

∴ln$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}•{{x}_{2}}^{2}}$≥ln4≥0，

∴③f（x）=lnx²是M函数；
对于④，f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（2^x₁+x₂-1）-（2^x₁-1+2^x₂-1）
=2^x₁2^x₂-2^x₁-2^x₂+1=（2^x₁-1）（2^x₂-1）≥0，∴④f（x）=2^x-1是M函数；
综上所述，上四个函数中是M函数的有：①③④，
故答案为：①③④

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．