Question

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．
（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出导函数在x=1处的值，利用点斜式写出切线方程，化为斜截式令其斜率为3，纵截距为1，令导函数在-2处的值为0，列出方程组，求出f（x）的解析式．
（II）求出f（x）的导函数，令导函数为0，求出根，列出x，f（x），f′（x）的变化表，求出极大值，端点值，求出函数
f（x）的最大值．
（III）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[-2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f′（x）的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．
方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[-2，1]上恒成立，分离出参数b，构造新函数m（x），利用基本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可．

解答：解（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²+bx+c 求导数得f'（x）=3x²+2ax+b，
过y=f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y-f（1）=f'（1）（x-1），
即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1），
而过y=f（x）上P（1，f（1））的切线方程为：y=3x+1，
故

3+2a+b=3 -a+c-2=1

，即

2a+b=0…(1) a-c=-3…(2)

∵y=f（x）在x=-2时有极值，故f'（-2）=0
∴-4a+b=-12…（3）
由（1）（2）（3）相联立解得a=2，b=-4，c=5，
f（x）=x³+2x²-4x+5…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）

x	[-3，-2）	-2	(-2， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，1]
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大		极小

f（x）_极大=f（-2）=（-2）³+2（-2）²-4（-2）+5=13  f（1）=1³+2×1-4×1+5=4
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13                     …（8分）
（Ⅲ）y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增
又f'（x）=3x²+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x²-bx+b
依题意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）=3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立．
①在x=

b

6

≥1时，g(x)最小值=g(1)=3-b+b＞0

&∴b≥6

②在x=

b

6

≤-2时，g(x)最小值=g(-2)=12+2b+b≥0则b∈Φ
③在-2≤

b

6

≤1时，g(x)最小值=

12b-b2

12

≥0

则0≤b≤6．

综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0…（12分）
或者（Ⅲ）y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增
又f'（x）=3x²+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x²-bx+b
依题意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）=3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立∴b≥

3x2

x-1

=

3x2

x-1

=3(x-1)+

3

x-1

+6(x≤1)
令m（x）=3（x-1）+

3

x-1

（x≤1）
则m（x）≤-6∴(

3x2

x-1

)max=0∴b≥0

点评：解决曲线的切线问题时常利用导函数在切点处的值为切线的斜率；解决不等式恒成立常采用分离参数构造新函数，求新函数的最值．