Question

（2007•静安区一模）（文）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别是棱AB、AD的中点．求：
（1）异面直线BC₁与EF所成角的大小；
（2）三棱锥A₁-EFC的体积V．

Answer 1

分析：（1）因为点E、F分别是棱AB、AD的中点，所以EF∥BD⇒∠C₁BD是异面直线BC₁与EF所成的角；在△DBC₁中，求出∠C₁BD即可；
（2）先求出三角形EFC的面积，再根据A₁A即为三棱锥的高代入体积计算公式即可．

解答：解：（1）因为点E、F分别是棱AB、AD的中点，所以EF∥BD，
所以∠C₁BD是异面直线BC₁与EF所成的角． （4分）
在△DBC₁中，∠C₁BD=60°．
所以异面直线BC₁与EF所成角的大小为60°．               （8分）
（2）因为：S_△EFC=S_ABCD-S_△AEF-S_△CDF-S_△BCE=2×2-

1

2

×1×1-

1

2

×2×1-

1

2

×2×1=

3

2

．
∴VA1-EFC=

1

3

AA1•S△EFC=

1

3

×2×

3

2

=1．（14分）

点评：本题主要考查异面直线及其所成的角以及三棱锥的体积计算．解决第二问的关键在于对公式的熟练掌握．